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曲率的计算公式为:
来源:为了平衡曲线的弯曲程度。
平均曲率,这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度,为AB弧长。
例:对于圆,。所以:圆周的曲率为,是常数。
而直线上,所以,即直线“不弯曲”。
对于一个点,如A点,为精确刻画此点处曲线的弯曲程度,可令,即定义,为了方便使用,一般令曲率为正数,即:。
3.5.2 计算公式的推导:
由于,所以要推导与ds的表示法,ds称为曲线弧长的微分(T5-28,P218)
因为,所以。
令,同时用代替得
所以或
具体表示;
1、时,
2、时,
3、时,(令)
再推导,因为,所以,两边对x求导,得,推出。
下面将与ds代入公式中:
,即为曲率的计算公式。
3.5.3 曲率半径:
一般称为曲线在某一点的曲率半径。
几何意义(T5-29)如图为在该点做曲线的法线(在凹的一侧),在法线上取圆心,以ρ为半径做圆,则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率,切线及一阶、两阶稻树。
应用举例:求上任一点的曲率及曲率半径(T5-30)
解:由于:
所以:,
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